§ Why Transmission Line Theory?

   시그널 인테그러티 문제와 관련하여 반드시 그렇지는 않겠지만 엔지니어들은 일반적으로 총체적인 입장에서
    signal integrity를 바라보기 보다는 자신의 처해진 입장에 따라 국부적으로 바라보는 경향이 있다.
    예를 들어 대부분의 디지틀 회로 설계자들은 타이밍 (signal delay 혹은 clock skew 등등) 및 커플링 노이즈
   (crosstalk)와 같은 신호선의 integrity 손상 문제에 일차적인 관심이있을 것이고 패키지설계자들은 파워/그라운드의
   안정화와 관련된 파워 및 그라운드 배선의 integrity (delta-I 노이즈 혹은 동시스위칭 노이즈)에 관심이 있을
   것이며, RF 회로 설계자들은 임피던스 정합 (impedance matching) 혹은 jitter와 같은 문제에 일차적인 관심을
   가질 수 있다. 그리고 EMI 엔지니어 들은 전자파 노이즈 문제에 관심이 있을 것이다. 그러나 이들 문제는 사실상
   서로가 얽히고 설혀 있는 문제들이라 국부적으로 볼 수 없는 경우가 대부분이며 위에서 언급하지 않은 문제들
   즉, IR-drop, dispersion, substrate coupling noise, electromagnetic interference noise (EMI) 등등 signal
  integrity를 손상 시킬 수 있는 또 다른 수 많은 문제들 역시 signal integrity라는 관점에서 보면 결코 간과 할 수
 없는 중요한 문제들이다.

     다시 말하자면, 이들 모든 signal integrity와 관련된 문제들은 원론적인 관점에서 보면 중요하지 않은 것이
   하나도 없는 반면 어느 하나도 만만히 해결될 것 같아 보이지 않는다는데 문제의 심각성이 있다. 세상사 모든 일이
   정도의 차이는 있겠지만, 어렵지 않은 문제가 어디 있으랴 만, 시그널 인테그러티 문제가 어렵다고 느껴지는 것은
   극히 일부를 제외하면 체계적인 즉 정형화된 해결 방법도 없거니와 모든 문제들이 서로 복잡하게 얽히고 설혀 있기
   때문일 것이다. 그렇다면 어찌해야 한단 말인가? 자 마음을 가다듬고 다시 한번 차근차근 생각해 보기로 하자.
 
   지금까지 언급한 문제를 다시 한번 생각해 보면 명백한 사실이 몇 가지 있다.

   첫째, 대체적으로 signal integrity와 관련된 문제는 칩 내부든 칩 외부든 그리고 그것이 신호 선이든 파워/그라운드
   배선이든, 시스템의 에너지 전달 경로인 배선 (즉, 인터컨넥트)의 문제와 직간접으로 관련된 문제라는 점이다.

   둘째, 대부분의 문제는 저주파 회로에서는 그다지 심각한 문제가 아니지만 고주파 회로 (즉, 스위칭 속도가 빠른 회로)
   일수록 문제가 커지는 주파수에 종속하는 문제라는 점이다.

   셋째, 기존의 회로이론의 가설이 위배되기 때문에 전류/전압이 아닌“wave”의 개념을 사용한 전자기 이론을 사용해야
   한다는 점이다.

    그렇다면, 우리는 다음과 같이 문제를 단순화하여 다시 생각해 볼 수 있다. 즉, “고주파/배선/웨이브회로”라는 말로
   단순화 시켜서 생각해 볼 수 있다. 도대체 그게 뭔가? 그렇다. 그게 바로“transmission line theory (즉, guided wave
   circuit theory)다. 물론 transmission line theory로 모든 문제를 다 해결 할 수 있다는 뜻은 아니다.
    하지만, signal integrity에 관한 한 그 이론의 토대는 본질적으로 회로이론이 아닌 전자기 이론에 두어야
  한다는 뜻이다.
   비록 모든 문제를 전자기이론으로 해결 할 수는 없겠지만 적어도 주어진 시스템의 배선 망을 guided wave circuit
  theory (즉, transmission line theory)로 모델링 한다면 전부는 아니더라도 상당히 많은 signal integrity 관련 문제를
  해결 할 수 있을 것이라고 짐작해 볼 수 있다. 사실이다. 따라서, signal integrity와 관련 된 문제를 해결하기
  위해선 어쨋거나 transmission line theory를 잘 이해하지 않으면 안 된다. 트랜스미션 라인 이론은 수 많은 책에서
  언급되고 있으니 여기서 다시 언급 할 필요는 없을 것 같다. 관심 있는 독자라면, 어디서든 쉽게 관련된 책을
  구하여 읽을 수 있을 테니 말이다.

§ 모델링과 CAD 툴의 맹신에 대한 경고

   앞서 언급한 바와 같이 signal integrity 문제를 트랜스미션라인 즉, “guided wave circuit theory”의 입장으로
본다면 복잡한 물리현상을 수학의 영역 (그것을 수학이라고 말 할 수 있는지는 모르지만 어쨌든 수학적인
표현 식이기 때문에) 혹은 웨이브 회로로 변환한 것이 되니 복잡한 물리현상을 한결 간략화 한 수학 혹은 웨이브
회로의 문제로 접근할 수 있을 것이다. 다시 말하지만, 트랜스미션 라인 이론은 에너지를 전압과 전류라는
물리 량으로 보는 것이 아니라 이들 보다는 시간과 공간에서 에너지의 변화를 더욱 엄밀하게 정의한 웨이브라는
물리 량으로 보는 것이다.
   따라서, ignal integrity에 관련된 많은 문제들은 주어진 경계조건을 이용하여 이들 미분 방정식 혹은 웨이브
회로 방정식을 풀면 된다. 그런데, 문제는 그 복잡한 물리현상을 그렇게 간단하게 트랜스미션라인으로 모델링
할 수 있느냐는 것이다.
 물론 아니다. 하지만, 적어도 그렇게 모델링 한다면 아주 엄밀하게 물리현상을 분석 할 수는 없는지 모르지만,
대부분의 배선에서 발생하는 복잡한 물리현상의 본질을 이해하는 데는 거의 문제가 없는 매우 훌륭한 모델이라고
 말 할 수 있다. 트랜스미션 라인 모델이 어느 정도 정확한지 아닌지의 모델 자체의 정확성의 편차 문제 보다는
실제적인 측면에서 signal integrity와 관련된 물리현상을 정확히 이해하는데 있어서 보다 현실적인 문제는
다른 곳에 있다고 나는 생각한다. 즉, 어떤 물리 현상을 모델 하였다고 하면 실제 물리 현상과 그 수학적 모델을
연결 시켜주는 파라미터가 존재한다. 제 아무리 정확한 수학적 방정식의 해를 구했다 하더라도 그 모델
파라미터가 정확하지 않으면 그 답은 결코 신뢰 할 수가 없다. 일반적으로 우리가 트랜스미션 라인 이론으로
모델 한 모델 파라미터는 손실 (단위 길이당 도체 저항 [R] 및 단위길이당 유전 손실 [G])과 단위 길이당 electric
field의 세기와 관련된 파라미터 [C] 그리고 단위 길이당 magnetic field의 세기와 관련된 파라미터 [L]을
모델 파라미터로 사용한다. 따라서, 이들 모델 파라미터를 정확히 알지 않으면 안 된다.

   대부분 이들 모델 파라미터를 정확히 결정하거나 회로 방정식을 정확히 풀기 위하여 요즘은 대개 상용화된
CAD 툴을 사용한다. 그런데 이와 관련된 두 가지 근본적인 문제가 있다. 첫째는 주파수가 높아지면, 이들
모델 파라미터는 여러 가지 물리현상 즉, 도선의 표피효과 (skin effect), 근단효과 proximity effect),
에디커런트 (eddy current), 주파수 종속 기판특성 등등으로 인하여 모델 파라미터가 상수가 아니라 주파수에
종속하는 변수가 된다는 점이다.
 또 다른 하나는 원론적인 수치해석적 방법으로 접근하면 정확한 결과를 기대할 수는 있을지 모르나 수 많은
배선 망을 해석하기 위하여는 계산시간이 비 현실적으로 너무 방대하게 소요된다는 사실이다. 결국 이들 문제를
어떡하든 극복하지 않으면 안 된다. << 물론 여기서는 언급하지 않지만, 실제의 물리적 구조를 시뮬레이션을 위한
구조로 변환하는 과정 (경계조건 설정 및 실제와 달리 이상적인 구조로 가정하는 것 등등)에서 어쩔 수 없는
사용자 에러도 중요한 시뮬레이션 오류 중의 하나이다. >>

   흔히, 이런 현실적 문제를 극복하기 위해서 엔지니어는 두 가지 접근법을 동시에 사용한다. 하나는 일정한
error를 갖는다고 처음부터 가정하고, 계산시간을 단축시키기 위한 근사해법을 사용하여 계산 시간을 확
줄여버린다 (디지틀 회로의 타이밍이나 크로스톡 노이즈를 예측하기 위하여 사용하는 model order reduction
방법이 대표적인 예다). 반면에 특정한 구조에 대해서는 현상론적 전자기 현상을 정확히 설명하는 Maxwell
방정식을 통째로 푸는 방법이다 (Ansoft 사의 HFSS가 그 예다). 사실 이들 양자는 양 극단의 경우를 보는 것이다.
즉, Maxwell 방정식을 통째로 푸는 이유는 근사화된 모델로 설명 할 수 없는 경우나 그 모델이 실제와 어느 정도
벗어났는지를 확인하기 위함이요, 근사해법은 어느 정도 허용 할 수 있는 에러범위 내에서 복잡한 시스템의
물리 현상을 가능한 한 효과적으로 관측하기 위한 수단이다. 이런 측면에서만 생각 해보면, 일단 모델 파라미터를
정확히 결정 할 수 만 있다면 그리고 회로 방정식을 제대로 풀 수만 있다면 즉, 상용화된 CAD 툴들을 잘만
사용한다면 별문제 없이 해를 얻을 수 있을 것 같다고 생각 할 것이다.

   그런데 그게 과연 그럴까? 현실적 입장을 고려한다면 결코 그렇지 않다. 세상의 많은 CAD 툴 공급자들은
자사의 CAD 툴이 아주 정확하다고 주장하지만, 필자의 경험으로 볼 때 결코 그렇지 않고 또한 현실적으로
그렇다는 자체가 말이 안 된다.
 수 많은 CAD 툴 들은 내부적으로 수 많은 복잡한 물리 현상을 이상적인 상황으로 가정하여 알고리즘을 간략화
할 수 밖에 없으며, 또한 실제회로의 제작 과정은 불가피하게 많은 불확실 성 (process variations) 을 내포할 수 밖에 없다.
 그렇기 때문에 이러한 실제적인 물리 현상과 CAD 툴 사이에는 본질적으로 발생할 수 밖에 없는 불확실성의 문제 (inherent
 uncertainty problem)가 존재한다. 이 불확실성의 문제는 일반인들이 생각하는 것보다 훨씬 심각하고, nano-scale의
공정을 사용하는 요즘의 반도체 회로에서 이 문제는 결코 간과해서는 안 되는 정말로 중요하고도 심각한 문제다.

   왜 정밀한 실험적 검증이 중요한지에 대한 강력한 이유다. 결론적으로 말하면 물리현상의 정확한 모델과 효과적인
 시뮬레이션 방법 그리고 다양한 CAD 툴의 개발이 signal integrity를 효과적으로 검증하는 주요한 목표 일 수 있지만
 이것은 전체의 일부일 뿐이다. 실험적으로 검증되지 않은 모델과 CAD 툴을 사용하여 시뮬레이션 만에 근거한 어설픈
 문제 해결의 접근 방식은 적어도 signal integrity라는 문제로 본다면 앞으로 무척 심각한 문제를 야기시킬
 것이 분명하다.